Números Complexos

Os números complexos surgiram para sanar uma das maiores dúvidas que atormentavam os matemáticos: Qual o resultado da operação X² + 1 = 0 ?

Por isso, foi criado um número especial, que denominamos algebricamente como i, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematicamente:

Esse novo conceito possibilitou a resolução da equação mostrada anteriormente

Desse modo:

Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra C.

Conjunto dos números complexos = C:

Relação fundamental

O conjunto dos números complexos possui, desse modo, a relação fundamental onde:

Exemplos

Forma algébrica

O número complexo possui uma parte real e outra imaginária. Como a parte imaginária conta com a presença do i, sua forma algébrica é:

* Um número complexo que não possui parte real (a = 0) é denominado número complexo puro.

* Um número complexo que não possua a parte imaginária (b = 0) é denominado número real

* e os números imaginários que possui ambas as partes são simplesmente chamados de números complexos.

Exemplos

2 + 4i → número complexo
8 - i√2 → número complexo
6i → número complexo puro
4 → número real
-i → número complexo puro

i²→ número real

Conjugado de um número complexo

Um número complexo z = a + bi possui um conjugado que é representado por z, onde:

Exemplos

Dados os números complexos, encontrar seus respectivos conjugados:

Operações com números complexos na forma algébrica

Como os números reais possuem forma real e imaginária separadas, as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação diferem um pouco das habituais com números reais.

Adição e subtração com números complexos na forma algébrica

Para somar e subtrair números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e imaginária separadamente.

Exemplos

(2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i

(1 + 4i) – (2 - 7i) = (1 - 2) + (4 - 7)i = -1 -11i

(3 + i) – (4 + i) = (3 - 4) + (i - i) = -1

i + (2 + 4i) = 2 + (1 + 4)i = 2 + 5i

Multiplicação com números complexos na forma algébrica

Para efetuar a multiplicação aplica-se simplesmente a distributiva:

Exemplos

(2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 6i – 3 = -1 + 5i

2 (1 + i) = 2 + 2i

(2 - i)(-3 + 2i) = -6 +4i +3i – 2i² = -4 + 7i

Divisão com números complexos na forma algébrica

Para se dividir números complexos, deve-se multiplicar ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador.

Exemplos

Potências de i

Nas potências de i notam-se regularidades de quatro em quatro no expoente:

Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potência, dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potência utilizando como expoente o resto da divisão.